如何用Matlab求解方程組微積分筆記——傅立葉變換

本文將傅立葉變換，簡稱FT。

網(wǎng)上有很多關于FT的文章，還有動畫和一系列首尾相連的棒子?？粗偪窨犰牛赐暧X得FT很牛逼，但還是不& amp#039;我不懂金融時報。一個好的函數(shù)怎么會是一系列正弦波呢？什么時域頻域？聽著，高個子。

從最基本的三角級數(shù)入手，闡述了傅立葉變換的數(shù)學本質。內容很硬核。如果你只是想隨便看看，搜一下FT的視頻，看到那個揮著小棍子的。

0 序，為什么FT這么難以理解

我們在學習FT的時候，一定要相應的閱讀各科教材。只讀一本書是不夠全面的，自然你可以& amp#039;我不明白FT的意思。

首先：

FT求導在于微積分，因為用到了定積分的概念，這是物理的。FT用線性代數(shù)來理解，它的數(shù)學本質是線性空間的變換，是玄學。FT應用于信號系統(tǒng)，是物理的。明白這三點，就有了學習FT的方法。

其次，學習FT，一定要學習它的基礎。打牢基礎。FT基于傅立葉級數(shù)，傅立葉級數(shù)基于三角級數(shù)。所以，至少我學FT，一半以上的精力都花在三角級數(shù)上。明白了三角級數(shù)的來龍去脈，F(xiàn)T就是順理成章的事情了。

在講

1 級數(shù)

級數(shù)是一個非常違反直覺的概念。舉幾個例子。首先是大家都很熟悉。

0.9999999999.=1

另一個有條件收斂的常數(shù)項級數(shù)，變化項，可能導致級數(shù)不收斂或收斂到其他值。簡單來說，條件收斂的級數(shù)不符合加法交換律。乍一看，太神奇了！加法交換律，小學學的，居然不及格！

在微積分中，級數(shù)仍然是一個非常重要的概念和理論。可以證明前面已經(jīng)埋了很多教材。比如如何判斷一個隱函數(shù)是否有函數(shù)，如何判斷一個微分方程是否有解甚至唯一解。

從形式上講，級數(shù)是無窮多個正則項的和。所以我們可以用任何組合，只要是正則的，可以代替數(shù)字或者函數(shù)。剩下的兩個問題是：

不管是收斂到一個常數(shù)還是一個函數(shù)，(廢話，什么& amp#039;s不收斂的點)收斂速度，(當然越快越好)。問題1:工程是有福氣的，所以可以忽略，有狄利克雷收斂條件保證。萬一它不滿意，它不& amp#039;沒關系，有一個廣義的FT。

問題2，F(xiàn)T不涉及。

2 三角級數(shù)

以下是第一個想法：

很自然，但也很不好。因為它不是正交的。非正交性的問題是很難找到系數(shù)。所以它變成了：

這個形式很好，正交！求系數(shù)是很容易的。

什么是正交，為什么正交是我們追求的？參見下面的推導過程。

隨之而來的第二個問題是，x是一組實數(shù)，有正值也有負值。為什么教材講到三角函數(shù)f的n只取正整數(shù)

3 三角級數(shù)的數(shù)學意義

從線性代數(shù)的角度看，三角級數(shù)的本質是空間變換，將原本x空間的函數(shù)映射到三角函數(shù)空間。但不同于普通意義的線性代數(shù)，這里變換的是函數(shù)，而不是一般的實數(shù)。

這是學習FT最重要的一點。FT的數(shù)學意義必須從線性代數(shù)的角度來理解。但是微積分受學科限制，往往教材不會指出這一點。至于信號與系統(tǒng)，根本不是數(shù)學書。而線性代數(shù)的教材本身不涉及微積分，所以一般不會講FT。

罰款上面的粗體字！再給我一張照片

這是一個線性變換，從左邊的f(x)到右邊的a0，a(n)和b(n)。三個變換積分是& ampquot矩陣& ampquot線性代數(shù)里！精品！

我們從初中接受的教育，y=f(x)，是y和x的函數(shù)，是一個映射。這是學習FT的一個非常大的障礙。結果總覺得FT很不自然。一個函數(shù)怎么可能是一系列正弦函數(shù)的和？It & amp#039;令人難以置信。這種想法的根本問題在于，你還是從初等數(shù)學或者經(jīng)典微積分的角度來看待函數(shù)的概念。該函數(shù)是從x到y(tǒng)的映射。

正如你站在加利利的轉變& amp#039;的觀點，你永遠也不會理解狹義相對論。你永遠無法從均勻空間的角度理解廣義相對論，就那樣。

拋棄函數(shù)這個概念！欲練神功，揮刀自宮！一切都是級數(shù)！一切都是無窮和！

在級數(shù)眼里，一切都是一系列正則表達式的和，無窮和！我們借用信號系統(tǒng)中脈沖函數(shù)的概念。

明白了嗎？即使是傳統(tǒng)意義上的，功能還是可以算一個的。

那么三角級數(shù)，就是原本你是用沖激函數(shù)這組基線性組合的，現(xiàn)在我用三角函數(shù)這組基來搞線性組合，不可以嗎？站在線性代數(shù)的角度，當然可以！而且無比自然！

所以，學FT，首先要破除這個我們學了中學6年的函數(shù)的思想。將y=f(x)，不要看成一個表達式。充分理解了這點。那么接下來的問題就是：

既然x能描述y，肯定不止x能描述y，能找到其他的表達式就行。

這就是線性代數(shù)的思想——空間變換！就是找到另一組正交基！這里，由于三角函數(shù)系的正交性，自然而然就被我們選中！

稍微總結一下，體會一下，再繼續(xù)后面的推導過程！

總之，在級數(shù)的宇宙觀里，沒有映射這個玩意兒。一切都是無窮和。加點線性代數(shù)的概念，一切都是一組無限維數(shù)的正交基的線性組合。充分理解這個觀點，直到你對

0.999999.... = 1

有了新的認識。

4 三角級數(shù)的推導

接著就是形而下的問題了，如何求系數(shù)。

在線性代數(shù)角度看，就是求解一個非常“稠密的”線性方程組。

碼字太煩，直接上圖

以上就是傅里葉級數(shù)的三角級數(shù)形式。

5 傅里葉級數(shù)的復數(shù)形式

教材中，包括信號系統(tǒng)的教材，把復數(shù)形式的傅里葉級數(shù)，用歐拉公式，從三角級數(shù)推導。這個方法非常爛！

如果你充分理解了上面的過程。應該有一個問題：還有沒有其他的級數(shù)？或者站在線性代數(shù)的角度，還有沒有其他空間了？或者有沒有其他的正交基了？舔狗地講，哪怕不正交也行。答案是有的，女神可不只三角函數(shù)一個！指數(shù)函數(shù)也可以組成正交基

這里一個小問題是，為什么指數(shù)函數(shù)可以有負數(shù)部分了？原因還是在于正交性！

三角函數(shù)中，由于負部分對三角函數(shù)構成冗余，導致基的非正交，所以我們舍棄了負的部分。而在指數(shù)函數(shù)中，如果要構成正交，必須引入負的部分。

接下去就可以用三角級數(shù)的過程，定積分的思想，推導復數(shù)級數(shù)。這里略。

用這個思路去理解所謂的“傅里葉級數(shù)的復數(shù)形式”！或者拋棄“傅里葉級數(shù)”、“傅里葉級數(shù)的復數(shù)形式”兩個名詞。著眼于“三角級數(shù)”、“復指數(shù)級數(shù)”兩個名詞，或許更能說明問題。

將歐拉公式看成一種偶遇，正好指數(shù)函數(shù)是三角函數(shù)的復數(shù)形式。假裝我們發(fā)現(xiàn)了新的正交基（復指數(shù)），并又滿懷豪情地推導了一把。

6 傅里葉變換

微積分中，對傅里葉變換的描述非常少，甚至于標題都是傅里葉積分。直接上圖

明白了三角級數(shù)的由來，明白了指數(shù)級數(shù)的由來。FT是無比自然的東西。就是在另一個空間考察函數(shù)！而“那個”空間，在信號系統(tǒng)課程里，稱為頻域，原來的那個空間，稱為時域。而在數(shù)學里，只有空間，沒有時域頻域之分。

7 尾聲

FT不容易學，原因是要學透它所需要的知識分散在不同的教材。需要融會貫通！

在線性代數(shù)的山頂，握著定積分的推導工具，俯視傅里葉變換，俯視時域頻域！在我眼里，只有線性空間，只有正交基，只有線性組合。

體會到了這一點，就不難理解傅里葉變換了。至于一串首尾相連的小棍子甩甩的，看看就好。

還有沒有其他的正交基？微積分里沒有了，這回是真的沒有了。。。

還有一個拉普拉斯變換，簡單，將不收斂的變成收斂！就這么一個目標。之前用的指數(shù)函數(shù)，指數(shù)是純虛函數(shù)，一直振蕩的。拉普拉斯就是將它用完全的復數(shù)當指數(shù)，使得有一個很強的收斂的包絡。

既然你看到這里了，最后再說一個學FT的小竅門，掌握一門畫圖的工具，MATLAB或者Python（有matplotlib庫）。事半功倍！